数年前に時間が取れた時があり、ずっと気になっていた砂川重信さんの岩波全書「電磁気学」を読んでまとめたことがありました。今回はそれを載せてみました。見直したところ、間違いがチラホラありましたが…
電磁気学は流体力学と非常に似通ってて読みやすかったです。ナビエストークス方程式の重ったるさと違い、マクスウェル方程式は完結に美しく導かれていって、、やはり隣の芝生は青く見えるのでしょうか。
電磁気学の一般則
電流場
電流場は荷電粒子が移動することで発生する．
電流密度は\(\boldsymbol{i}\)，単位は\({\rm [A/m^2]}={\rm [C/s\,m^2]}\)で電荷のフラックス量を表す．電流密度の方向は速度方向で，\(n{\rm [1/m^3]}\)は電荷数密度．\(n,e,\boldsymbol{v}\)のいずれも\((\boldsymbol{x},t)\)を場の変数とする．
\begin{align} \boldsymbol{i}(\boldsymbol{x},t) = ne\boldsymbol{v} \end{align}
電流の定義とは，電流速度\(i\)を任意の面積で積分したものである．
\begin{align}
I(\forall S,t)
&= \int_S\boldsymbol{i}(\boldsymbol{x},t)\cdot d\boldsymbol{S} \\
&= \int_Sne\frac{d\boldsymbol{x}(t)}{dt}\cdot d\boldsymbol{S}
= \frac{d}{dt}\biggl(\int_Sne\boldsymbol{x}(t)\cdot d\boldsymbol{S}\biggr) \notag \\
&= \frac{dQ(\forall S,t)}{dt}. \tag{1}\label{eq:Def-I}
\end{align}
ただし，
\begin{align}
Q(t){\rm [C]}=\biggl(\int_Sne \boldsymbol{x}(t)\cdot\boldsymbol{S}(\boldsymbol{x}(t))\biggr),
\quad
\boldsymbol{x}(t)=(x(t)\boldsymbol{n},0,0).
\end{align}
ここでの\( \boldsymbol{n} \)は\(S\)に対する単位法線ベクトル．
この結果から，電流は電気量の時間変化率であることも分かる．単位は\({\rm [A]=[C/s]}\) ．電荷密度\(\rho(\boldsymbol{x},t)\)を考えることで，ある閉領域における電気量は
\begin{align}
Q(t)=\int_V\rho(\boldsymbol{x},t)dV \tag{2}\label{eq:ELEQ}
\end{align}
とかける．閉領域\(S\)における(\ref{eq:Def-I})と(\ref{eq:ELEQ})より
\begin{align} \oint_{S}\boldsymbol{i}(\boldsymbol{x},t)\cdot d\boldsymbol{S} =\frac{d}{dt}\int_V\rho(\boldsymbol{x},t)dV. \quad(\text{電荷保存則}) \end{align}
解くと
\begin{align}
\nabla\cdot\boldsymbol{i}(\boldsymbol{x},t)
+\frac{\partial\rho(\boldsymbol{x},t)}{\partial t} = 0.
\quad(\text{電荷保存則}) \tag{3}\label{eq:charge-co}
\end{align}
磁場
磁束密度場と磁場は次の関係を満たす．
\begin{align}
\boldsymbol{B}(\boldsymbol{x},t)=\mu\boldsymbol{H}(\boldsymbol{x},t).
\end{align}
磁場は，磁気単極子や電子の移動，すなわち電流密度の存在によって作られる．磁束密度\(\boldsymbol{B}\)の単位は\({\rm [Wb/m^2]=[T]}\)で，磁束のフラックス量であるが，時間変化は排除して考える．
磁気単極子は磁場を生成する．
\begin{align}
\boldsymbol{B}(\boldsymbol{x},t)=\frac{1}{4\pi}
\frac{q_m(\boldsymbol{x}'(t))(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}'(t))}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}'(t)|^3}.
\end{align}
電流密度が作りだす磁場
\begin{align}
\boldsymbol{B}(\boldsymbol{x},t)=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_V \frac{\boldsymbol{i}(\boldsymbol{x}’,t)
\times(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}’)}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}’|^3}d^3\boldsymbol{x}’.
\quad\text{(ビオ・ザバールの法則)} \tag{4}\label{eq:B-t}
\end{align}
磁束\(\phi{\rm [Wb]}\)は\(\boldsymbol{B}(\boldsymbol{x})\)を任意の面積\(S\)で積分した量，
\begin{align}
\phi(\forall S,t)=\int_S\boldsymbol{B}(\boldsymbol{x},t)\cdot d\boldsymbol{S}.
\end{align}
なお，単位は\({\rm [Wb]=[V\,s]}\)．
磁場\(\boldsymbol{H}{\rm [N/Wb]}\) \(\longleftrightarrow\)磁位\(V_m{\rm [A]}\)の関係
\begin{align} \boldsymbol{H}(\boldsymbol{x}.t)=-\nabla V_m(\boldsymbol{x},t). \end{align}
磁束密度\(\boldsymbol{B}\longleftrightarrow\)電磁ポテンシャル\(\boldsymbol{A}{\rm [T\cdot m]}\)の関係
\begin{align}
\boldsymbol{B}(\boldsymbol{x},t)=\nabla\times{A}(\boldsymbol{x},t),
\end{align}
ただし
\begin{align}
\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x},t)=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_V
\frac{\boldsymbol{i}(\boldsymbol{x}’,t)}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}’|} d^3\boldsymbol{x}’.
\tag{5}\label{eq:A-t}
\end{align}
(\ref{eq:B-t})(\ref{eq:A-t})を解くことで
\begin{align}
\nabla\cdot\boldsymbol{B}(\boldsymbol{x},t)=0
\end{align}
となり，磁束密度場は発散しないことが分かる．
磁場は時間変化があっても，ポテンシャルの性質を満たす．
電場
電場と電束密度場は次の関係を満たす．
\begin{align}
\boldsymbol{D}(\boldsymbol{x},t)=\varepsilon\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x},t).
\end{align}
電場は，荷電粒子の存在ならびに磁場の時間変化によって作られる．
電束密度\(\cdots\boldsymbol{D}{\rm [C/s\,m^2]}\)電束のフラックス量
電荷\(q{\rm [C]}\)，電束\(Q{\rm [C]}\)，
荷電粒子は電場を作る．
\begin{align} \boldsymbol{D}(\boldsymbol{x},t)=\frac{1}{4\pi} \frac{q(\boldsymbol{x}'(t))(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}'(t))}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}'(t)|^3}. \end{align}
磁束の時間変化は電場を発生させる．
\begin{align}
k\frac{d\phi(\forall S,t)}{dt}=-V ,\quad
V=\int_s\boldsymbol{E}(\boldsymbol{s},t)\cdot d\boldsymbol{s}.
\qquad(\text{ファラデー電磁誘導の法則}) \tag{6}\label{eq:Lenz}
\end{align}
この式から，\(\boldsymbol{E}=-\nabla V\)を満たさず，磁束の磁界変化が生み出す電場はポテンシャル的性質を持たないといえる．これは，電場が時間変化するときポテンシャル的性質が成立しないことを意味する．
電束密度を任意の面積\(S\)で積分したものは，その領域上で電気量\(Q\)を示す．
\({\rm [C]}\cdots\)電気量
\begin{align}
Q(\forall S,t)=\int_S\boldsymbol{D}(\boldsymbol{x},t)\cdot d\boldsymbol{S},
\tag{7}\label{eq:Q-flux}
\end{align}
任意の面積領域\(S\)で囲まれた電束の総和は，電気量の総和に等しい．
\begin{align}
\oint_S\boldsymbol{D}(\boldsymbol{x},t)\cdot d\boldsymbol{S}
= \int_V \rho(\boldsymbol{x},t)dV
(=\text{総電荷量}).
\qquad(\text{ガウスの法則})
\end{align}
解くと
\begin{align}
\nabla\cdot\boldsymbol{D}(\boldsymbol{x},t) = \rho(\boldsymbol{x},t).
\qquad(\text{ガウスの法則}) \tag{8}\label{eq:gauss1}
\end{align}
(\ref{eq:Lenz})を解くことで
\begin{align}
\nabla\times\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x},t)\frac{\partial\boldsymbol{B}(\boldsymbol{x},t)}{\partial t}
= 0. \quad(\text{ファラデー電磁誘導の法則})
\end{align}
(\ref{eq:B-t})に\(\nabla\times\)をかけて得られる式と，
(\ref{eq:Q-flux})の時間微分をとった式を組み合わせて，
電荷保存則(\ref{eq:charge-co})をみたす
\begin{align}
\nabla\times\boldsymbol{H}(\boldsymbol{x},t)
=\boldsymbol{i}(\boldsymbol{x},t)
+\frac{\partial\boldsymbol{D}(\boldsymbol{x},t)}{\partial t}
\quad(アンペールの法則) \tag{9}
\end{align}
が得られる．\(\partial D/\partial t\)を電束電流，または変位電流と呼ぶ．
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