質量保存則

質量密度のムラがある空間を想像しましょう．質量\(m_V(t)\)は質量密度\(\rho(\boldsymbol{x},t)\)を空間積分して
\begin{align}
m_V(t)=\int_{V(t)}\rho(\boldsymbol{x},t)dV(t).
\end{align}
ここでは一旦は保存則は忘れて，質量は変化するものとしましょう．時間変化を考えて，輸送定理に当てはめて
\begin{align}
\cfrac{d\,m_V(t)}{dt}&=\cfrac{d}{dt}\int_{V(t)}\rho(\boldsymbol{x},t)dV(t) \\
&=\int_{V(t)}\biggl(\cfrac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla\cdot(\rho\boldsymbol{u})\biggr)dV(t)
\end{align}
となり，ここで忘れてしまった\(V(t)\)内での質量が変わらない質量保存則を呼び戻して
\begin{align}
\int_{V(t)}\biggl(\cfrac{\partial \rho}{\partial t}
+\nabla\cdot(\rho\boldsymbol{u})\biggr)dV(t) =\rm{const}.
\end{align}
原始関数が定数なら被積分関数は\(0\)なので
\begin{align}
\cfrac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla\cdot(\rho\boldsymbol{u})=0
\end{align}
と質量保存則が成立します．