「速度勾配テンソル」「変形速度テンソル」「せん断速度」など、速度のずりを示すものだとなんとなくは理解できると思いますが、一次元や二次元空間での解説が多く、用語の使い方もまちまちで…曖昧になっている人も多いと思います。
なので、分かっている範囲で自分なりにまとめてみました。
速度勾配テンソル
速度勾配テンソルは定義的に
\begin{eqnarray} \nabla\boldsymbol{u}(\boldsymbol{x},t)=\left( \begin{array}{ccc} \cfrac{\partial u}{\partial x} & \cfrac{\partial u}{\partial y} & \cfrac{\partial u}{\partial z} \\ \cfrac{\partial v}{\partial x} & \cfrac{\partial v}{\partial y} & \cfrac{\partial v}{\partial z} \\ \cfrac{\partial w}{\partial x} & \cfrac{\partial w}{\partial y} & \cfrac{\partial w}{\partial z} \tag{1} \end{array} \right)\end{eqnarray}
と書きます。定義的にです！！
\((\nabla \boldsymbol{u})^T\)と転置した行列もセットでよく出てきます。ただ、そのためか、式(1)の行と列を反転させたものが速度勾配テンソルと定義する人もいます。まぁ、どちらでも問題ありません。
速度勾配テンソルは行列なので、物理的な意味を示すものというよりも、計算上必要になってくる道具と受け取るのがよいかと私は考えています。
変形速度テンソル
変形速度テンソルは
\begin{eqnarray} \boldsymbol{S}(\boldsymbol{x},t)=\cfrac{1}{2} \{(\nabla\boldsymbol{u})+(\nabla\boldsymbol{u})^T\} \end{eqnarray}
と定義されて、(1)に代入して
\begin{eqnarray} \boldsymbol{S}=\left( \begin{array}{ccc} \cfrac{\partial u}{\partial x} & \cfrac{1}{2}\biggl( \cfrac{\partial u}{\partial y}+\cfrac{\partial v}{\partial x} \biggr) & \cfrac{1}{2}\biggl( \cfrac{\partial u}{\partial z}+\cfrac{\partial w}{\partial x} \biggr) \\ \cfrac{1}{2}\biggl( \cfrac{\partial v}{\partial x}+\cfrac{\partial u}{\partial y} \biggr) & \cfrac{\partial v}{\partial y} & \cfrac{1}{2}\biggl( \cfrac{\partial v}{\partial z}+\cfrac{\partial w}{\partial y} \biggr) \\ \cfrac{1}{2}\biggl(\cfrac{\partial w}{\partial x}+\cfrac{\partial u}{\partial z} \biggr) & \cfrac{1}{2}\biggl( \cfrac{\partial w}{\partial y}+\cfrac{\partial v}{\partial z} \biggr) & \cfrac{\partial w}{\partial z} \tag{1} \end{array} \right)\end{eqnarray}
と書かれます。
渦度テンソル
渦度テンソルは
\begin{eqnarray} \boldsymbol{\Omega}(\boldsymbol{x},t)=\cfrac{1}{2} \{(\nabla\boldsymbol{u})-(\nabla\boldsymbol{u})^T\}\end{eqnarray}
と定義され
\begin{eqnarray} \boldsymbol{\Omega}=\left( \begin{array}{ccc} 0 & \cfrac{1}{2}\biggl( \cfrac{\partial u}{\partial y}-\cfrac{\partial v}{\partial x} \biggr) & \cfrac{1}{2}\biggl( \cfrac{\partial u}{\partial z}-\cfrac{\partial w}{\partial x} \biggr) \\ \cfrac{1}{2}\biggl( \cfrac{\partial v}{\partial x}-\cfrac{\partial u}{\partial y} \biggr) & 0 & \cfrac{1}{2}\biggl( \cfrac{\partial v}{\partial z}-\cfrac{\partial w}{\partial y} \biggr) \\ \cfrac{1}{2}\biggl(\cfrac{\partial w}{\partial x}-\cfrac{\partial u}{\partial z} \biggr) & \cfrac{1}{2}\biggl( \cfrac{\partial w}{\partial y}-\cfrac{\partial v}{\partial z} \biggr) & 0 \end{array} \right)\end{eqnarray}
と成分表示されます。スピンテンソルと言うこともあります。また、
\begin{eqnarray} \nabla\boldsymbol{u}= \boldsymbol{S}+\boldsymbol{\Omega} \end{eqnarray}
の関係があります。
第二不変量
乱流分野では第二不変量という物理量がよくでてきますが、これは2つの速度勾配テンソルをアインシュタインの総和規約でスカラー積を取ったもので、かつ、固有方程式\(\lambda^3-I_{\nabla \boldsymbol{u}}\lambda^2+{I\hspace{-1pt}I}_{\nabla \boldsymbol{u}}\lambda-{I\hspace{-1pt}I\hspace{-1pt}I}_{\nabla \boldsymbol{u}}=0 \)の第二不変量\( {I\hspace{-1pt}I}_{\nabla \boldsymbol{u}}(\boldsymbol{x},t) \)に当たるものでもあります。
第二不変量になるのに疑問を感じるかもしれないので、非圧縮条件\( {\partial u}/{\partial x}+{\partial v}/{\partial y}+{\partial w}/{\partial z}=0 \)に注意して計算してみましょう。\(\nabla \boldsymbol{u}\)の２つの行列をアインシュタインの総和規約を取って式を整えていくと
\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3} (\nabla \boldsymbol{u})_{ij} (\nabla \boldsymbol{u})_{ji} &=& \biggl( \cfrac{\partial u}{\partial x} \biggr)^2 + \cfrac{\partial u}{\partial y}\cfrac{\partial v}{\partial x} + \cfrac{\partial u}{\partial z}\cfrac{\partial w}{\partial x} \\ &\quad+& \cfrac{\partial v}{\partial x}\cfrac{\partial u}{\partial y} + \biggl( \cfrac{\partial v}{\partial y} \biggr)^2 +\cfrac{\partial v}{\partial z}\cfrac{\partial w}{\partial y} \\ &\quad+& \cfrac{\partial w}{\partial x}\cfrac{\partial u}{\partial z}+\cfrac{\partial w}{\partial y}\cfrac{\partial v}{\partial z} + \biggl( \cfrac{\partial w}{\partial z} \biggr)^2 \\ &=& \biggl\{ \biggl( \cfrac{\partial u}{\partial x}+\cfrac{\partial v}{\partial y}+\cfrac{\partial w}{\partial z} \biggr)^2 – 2\biggl( \cfrac{\partial u}{\partial x}\cfrac{\partial v}{\partial y} + \cfrac{\partial v}{\partial y}\cfrac{\partial w}{\partial z}+ \cfrac{\partial w}{\partial z}\cfrac{\partial u}{\partial x} \biggr) \biggl\} \\ &\quad+& 2\biggl( \cfrac{\partial u}{\partial y}\cfrac{\partial v}{\partial x} + \cfrac{\partial u}{\partial z}\cfrac{\partial w}{\partial x}+ \cfrac{\partial v}{\partial z}\cfrac{\partial w}{\partial y} \biggr) \\ &=& -2 \biggl\{ \biggl(\cfrac{\partial u}{\partial x}\cfrac{\partial v}{\partial y}-\cfrac{\partial u}{\partial y}\cfrac{\partial v}{\partial x} \biggr) + \biggl(\cfrac{\partial v}{\partial y}\cfrac{\partial w}{\partial z}-\cfrac{\partial v}{\partial z}\cfrac{\partial w}{\partial y} \biggr) \\ &\quad+& \biggl(\cfrac{\partial w}{\partial z}\cfrac{\partial u}{\partial x}-\cfrac{\partial u}{\partial z}\cfrac{\partial w}{\partial x} \biggr) \biggr\} \\ &=& -2\left( \begin{array}{cc} \left| \begin{array}{cc} \cfrac{\partial v}{\partial y} & \cfrac{\partial w}{\partial y} \\ \cfrac{\partial v}{\partial z} & \cfrac{\partial w}{\partial z}\end{array} \right| +\left| \begin{array}{cc} \cfrac{\partial u}{\partial x} & \cfrac{\partial v}{\partial x} \\ \cfrac{\partial u}{\partial y} & \cfrac{\partial v}{\partial y}\end{array} \right| \end{array}+ \left| \begin{array}{cc} \cfrac{\partial u}{\partial x} & \cfrac{\partial w}{\partial x} \\ \cfrac{\partial u}{\partial z} & \cfrac{\partial w}{\partial z} \end{array} \right| \right) \\ &=& -2{I\hspace{-1pt}I}_{\nabla \boldsymbol{u}} \end{eqnarray}
となり、-2の係数がかかっていますが、こうして
\begin{eqnarray}{I\hspace{-1pt}I}_{\nabla \boldsymbol{u}} = -\cfrac{1}{2} \sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3} (\nabla \boldsymbol{u})_{ij} (\nabla \boldsymbol{u})_{ji} \end{eqnarray}
と、第二不変量が導かれます。
せん断ひずみ速度
せん断ひずみ速度はせん断速度やずり速度とも呼ばれ、2次元で
\begin{eqnarray} \dot{\gamma} =\cfrac{\partial u}{\partial y}\end{eqnarray}
と記述しているのを見かけます。これを3次元で表示する方法を確認したいと思います。
せん断ひずみ速度は導出する上で、2つの変形速度テンソル\(\boldsymbol{S}\)のアインシュタインの総和規約を取った第二不変量\({I\hspace{-1pt}I}_{\boldsymbol{S}}\)を一旦定義します。定義通り計算すると
\begin{eqnarray} {I\hspace{-1pt}I}_{\boldsymbol{S}}(\boldsymbol{x},t) &=& \sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3} \boldsymbol{S}_{ij} \boldsymbol{S}_{ji} \\ &=& \biggl( \cfrac{\partial u}{\partial x} \biggr)^2 +\biggl( \cfrac{\partial v}{\partial y} \biggr)^2 + \biggl( \cfrac{\partial w}{\partial z} \biggr)^2\\ &\quad+& \cfrac{1}{2}\biggl(\cfrac{\partial u}{\partial y} + \cfrac{\partial v}{\partial x}\biggr)^2 + \cfrac{1}{2}\biggl(\cfrac{\partial u}{\partial z} + \cfrac{\partial w}{\partial x}\biggr)^2 + \cfrac{1}{2}\biggl(\cfrac{\partial v}{\partial z} + \cfrac{\partial w}{\partial y}\biggr)^2 \end{eqnarray}
となります。せん断ひずみ速度は\({I\hspace{-1pt}I}_{\boldsymbol{S}}\)と
\begin{eqnarray}\dot{\gamma}(\boldsymbol{x},t) = \sqrt{2 {I\hspace{-1pt}I}_{\boldsymbol{S}}(\boldsymbol{x},t)} \end{eqnarray}
の関係で結ばれるそうです。
コメント