運動量方程式

　一般的にニュートンの第二法則に従う運動方程式は
\begin{align}
m\boldsymbol{a}=\boldsymbol{F}
\end{align}
と書きますが，厳密には力によって運動量の時間変化が引き起こされるので
\begin{align}
\cfrac{d}{dt}(m\boldsymbol{v})=\boldsymbol{F}
\end{align}
となりますが，これは質点系にしか使えないので，質量に空間ムラも加味した
\begin{align}
\cfrac{d}{dt}\int_{V}(\rho\boldsymbol{v})dV=\boldsymbol{F}
\end{align}
が，真のニュートンの第二法則であると考えます．
　この左辺は，輸送定理に運動量\(\rho\boldsymbol{v}\)を当てはめたものです．流体運動を考えるにあたり，力\(\boldsymbol{F}\)にポテンシャルの圧力勾配と重力を加えてみますと
\begin{align}
\cfrac{d}{dt}\int_{V}\rho(\boldsymbol{x},t)\boldsymbol{v}(\boldsymbol{x},t)dV
=\int_{V}(-\nabla p(\boldsymbol{x},t))dV
+\int_{V}\rho \boldsymbol{g}(\boldsymbol{x},t)dV
\tag{1}\label{eq:momentum-eq1}
\end{align}
となります．これが流体の運動量方程式!!として終わらせるのでも本当は十分なのですが，頻繫に見かける形に変えるため，圧力勾配を流水圧と静水圧に分けて
\begin{align}
\int_{V}(-\nabla p(\boldsymbol{x},t))dV
=\int_{V}(-\nabla( p_{\scriptsize{\rm{R}}}+p_{\scriptsize{\rm{S}}}))dV,
\end{align}
重力項から浮力\((\rho-\rho_0)\)を取り出して
\begin{align}
\int_{V}\rho\boldsymbol{g}\,dV
=\int_{V}(\rho-\rho_0)\boldsymbol{g}\,dV
+\int_{V}\rho_0\boldsymbol{g}\,dV,
\end{align}
静水圧と重力は力のつり合いの状態なので式(\ref{eq:momentum-eq1})は
\begin{align}
\cfrac{d}{dt}\int_{V}\rho\boldsymbol{v}dV
=-\int_{V}\nabla p_{\scriptsize{\rm{R}}}\,dV
+\int_{V}(\rho-\rho_0)\boldsymbol{g}\,dV,
\tag{2}\label{eq:momentum-eq2}
\end{align}
ただし，\(\rho_0\)は浮力の発生しない静水状態の密度としていて，平均の
\begin{align}
\rho_0=\int_V \rho(\boldsymbol{x})dV
\end{align}
を取ることにします．
　式(\ref{eq:momentum-eq2})に輸送定理を当てはめて，オイラーの視点に切り替えると
\begin{align}
\int_{V}\biggl(\cfrac{\partial (\rho\boldsymbol{u})}{\partial t}
+(\boldsymbol{u}\cdot\nabla)(\rho\boldsymbol{u})\biggr)dV
=-\int_{V}\nabla p_{\scriptsize{\rm{R}}}\,dV
+\int_{V}(\rho-\rho_0)\boldsymbol{g}\,dV
\tag{3}\label{eq:momentum-eq3}
\end{align}
とかけます．この式は
\begin{align}
\int_{V}\biggl(
\cfrac{\partial (\rho\boldsymbol{u})}{\partial t}
+(\boldsymbol{u}\cdot\nabla)(\rho\boldsymbol{u})
-(-\nabla p_{\scriptsize{\rm{R}}})-(\rho-\rho_0)\boldsymbol{g}
\biggr)dV
=0
\end{align}
ともかけて，原始関数が定数なら被積分関数は0なので
\begin{align}
\cfrac{\partial (\rho\boldsymbol{u})}{\partial t}
+(\boldsymbol{u}\cdot\nabla)(\rho\boldsymbol{u})
=-\nabla p_{\scriptsize{\rm{R}}}+(\rho-\rho_0)\boldsymbol{g}
\tag{4}\label{eq:momentum-eq4}
\end{align}
が導かれます．ダラダラっとした記事で申し訳ないのですが，式(\ref{eq:momentum-eq1})(\ref{eq:momentum-eq2})(\ref{eq:momentum-eq4})は是非とも押さえてほしいなと思います．